Skip to content

Category: mathematicsSyndicate content

C, PHP, VB, .NET

Тази задача е породена от реална такава. Всъщност е по-опростена, отколкото е реалната – в края на статията ще кажа защо.

 

C, PHP, VB, .NET

 На спешният телефон

   от C, PHP, VB, .NET


В България има три особени села, които са близко едно до друго, но хората в тях са съвсем различни. В село Торбалъжите жителите само лъжат. В село Правда, напук на съседите си от габровска област, всички са много честни и казват само истината. А в село Шарани, населено с типични габровци, хората обичат да се майтапят и непрекъснато менят поведението си – винаги редуват истина с лъжа или лъжа с истина.

Една вечер в спешен център „112“ се получило обаждане:

 

C, PHP, VB, .NET

 Феноменът на Уил Роджърс

   от C, PHP, VB, .NET


Уил Роджърс е една от най-големите световни знаменитости в 20-те и 30-те години на 20 век. Сега няма да се занимаваме с историята и всестранните умения и постижения на този велик комик, а ще се фокусираме върху една негова крилата фраза, която се е вплела в историята на математиката използвайки неговото име. Тя е следната:

Когато оклахомците се преместиха от Оклахома в Калифорния, те повишиха средното ниво на интелигентност и в двата щата.

Тази мисъл естествено е хумористична, но от друга страна говори много от гледната точка на математическата статистика и теорията на множествата. То казва, че е възможно, при преместване на елементи от едно множество в друго, да бъдат повишени средноаритметичните стойности и на двете множества заедно.

 

C, PHP, VB, .NET

 Дилемата на затворниците

   от C, PHP, VB, .NET


В статията ми за парадокса на Браес мой приятел изказа съмнение към част от изводите ми. Затова реших да публикувам друг, още по-елементарен пример, при който търсенето на оптималност на индивида може да влоши изхода за обществото като цяло.

Хванати са двама престъпници. За съжаление полицията няма достатъчно доказателства, за да бъдат осъдени по всички обвинения. Без да имат връзка един с друг, на тях им е дадена възможност да свидетелстват като предадат другия. Адвокатите им разчели следните възможни изходни комбинации:

1. Ако и двамата замълчат, ще получат присъда от 1 година всеки;
2. Ако единия обвини другия, който пък от своя страна замълчи, предателят ще бъде освободен, а другия ще лежи 10 години;
3. Ако и двамата се предадат един-друг, ще получат по 3 години затвор.

 

C, PHP, VB, .NET

 Парадоксът на Симпсън

   от C, PHP, VB, .NET


Парадоксът на Симпсън е една от най-лесните за разгадаване статистически заблуди. За съжаление тя е често прилагана от политиците и е рядко забелязвана от журналисти и общество. Ще го демонстрирам с един измислен пример.

 

C, PHP, VB, .NET

 Парадоксът на Браес

   от C, PHP, VB, .NET


Миналата година се проведе голям ремонт на кръстовището на телевизионната кула в София. После започна и строежа на метрото в Младост и (вкл. към днешна) е затворена голяма част бул. Александър Малинов. От скоро се прави и ремонт на кръстовището на Семинарията. И при трите примера имаме един и същи казус – затворени са части от пътните платна, с което в дадения район е затруднен трафика. Аз често минавам през въпросните места и забелязах нещо много интересно – и в трите случая се получи така, че времето ми за преминаване през въпросните участъци всъщност се намали драстично спрямо това, което беше преди започването на ремонта! Специално за кръстовището на Семинарията – преди да започне ремонта ми се налагаше да чакам по 10-15 минути, за да премина, а в момента – почти винаги съм най-отпред на светофара (важи за направлението Лозенец-Данабад и обратно, а не по алея Яворов – там е видимо по-зле положението).

 

C, PHP, VB, .NET

В предишната задача казах, че винаги е добре човек да има собствено мнение. А дали има случай, в който това не е така? Нека разгледаме същата задача, но с променени вероятности:

Преди да продължите, прочетете оригиналната задача тук:
https://www.cphpvb.net/probability/9249-own-opinion-importance/

Задача 1. Имаме жури от трима съдии – А, Б и В. Вероятността опитният съдия А да сгреши е 5%, а вероятността съдия Б да сгреши е 10%. Съдия В обаче се оказал пълно менте – той нямал абсолютно никакво правно образование. Реално той не може да разсъждава по казуса и единствения начин да даде някакво отсъждане е да хвърли монета. Дали е по-добре той да се довери на съдия А вместо да хвърля монета?

Решение: Съставяме познатата таблица както в миналата задача:

 

C, PHP, VB, .NET

Едно от най-важните неща е човек да има свое собствено мнение. Поне така казваме на всички ученици в училите. Ще го демонстрирам с една „задача-парадокс“.

Нека имаме подсъдим и жури от нечетен брой съдии, които трябва да оценят дали той е невинен или е виновен. Журито работи на принципна „мнозинството решава“, като всеки съдия дава становище дали подсъдимия е виновен или невинен, без да имат право на глас „въздържал се“. Съдиите в това жури естествено са живи хора и е възможно да направят грешка. Освен това един съдия може да греши повече от друг, защото всеки човек все пак е различен. На базата на събрани статистически данни е възможно да бъде оценено каква е вероятността даден съдия да сбърка. Нека разгледаме сега примерна задача:

Задача. Имаме жури от трима съдии – А, Б и В. Вероятността опитният съдия А да сгреши е 5%, вероятността съдия Б да сгреши е 10%, а вероятността младия съдия В да сгреши е 15%.

 

C, PHP, VB, .NET

Задачата за трите съда е много класическа главоблъсканица. Тя гласи следното:

Задача. Дадени са ви три туби с вместимости съответно 8л., 5л. и 3л. Най-голямата туба е пълна с вода, а другите две са празни. Разделете водата на две равни части по 4л., като за целта може да използвате само тези три съда.

Стандартно хората подхождат към решението на задачата чрез метода „проба-грешка“. Съответно правят поредица от „завъртания в кръг“ докато открият правилен път към решението. Приятелят ми Асен Велчев преди 4 години предложи вариант за решение на задачата чрез използване на проективна координатна система (и ме въвлече като съавтор в негова публикация). Сега ще се опитам да ви покажа този метод по възможно най-достъпен начин. Отворете следната графика в нов прозорец:

 

C, PHP, VB, .NET

 Сума от три карти до 18

   от C, PHP, VB, .NET


Катя и Георги взели девет карти с номера от 2 до 10. Съставили игра, в която един по един започват да взимат последователно по една карта от масата. Правилата на играта гласят, че ако в даден момент един от двамата играчи държи в ръцете си три карти, сумата от номерата на които е числото 18, той печели.

Нека например в първата игра, бидейки дама, Катя да започне първа. Три от възможните първи игри са следните:

:

  • Катя печели: {2 3 | 6 9 | 10…} – Катя е взела 2, 6 и 10, чиято сума е 18;
  • Георги печели: {2 3 | 6 10 | 4 5} – Георги е взел 3, 10 и 5, чиято сума е 18;
  • Равен мач: {2 3 | 6 10 | 5 7 | 8 4 | 9} – Катя има 2, 5, 6, 8 и 9, а Георги 3, 4, 7 и 10. Нито един от двамата не прави обща сума 18 от три карти.

Има ли печеливша стратегия за един от двамата играчи (първия или втория)?