Skip to content

Category: mathematicsSyndicate content

C, PHP, VB, .NET

В последните дни ми се наложи да си припомням математическата статистика във връзка с дисертацията. Благодарение на доц. Дурева си спестих много време и „грешни сметки“, защото тя ме насочи директно към правилния метод за проверка на хипотези спрямо данните, които изследвам. Става въпрос за методът Ман-Уитни (Mann-Whitney U-test). Това е непараметричен метод, с който се сравняват две извадки (може да са с различен обем) и се проверява хипотезата, че са със статистически еднакви медиани. Алтернативната хипотеза естествено е, че едната извадка има статистически значима разлика в медианата спрямо другата.

 

C, PHP, VB, .NET

 Една геометрична задача

   от C, PHP, VB, .NET


Следната задача е дадена със звездичка в учебник по математика от 8 клас. С учудване установих, че повечето хора, които познавам (възрастни, завършили университет) се провалят с гръм и трясък с нейното решение. Задачата е следната:

Задача. Даден е четириъгълник ABCD, за който:

  • Ъгълите CAD и CBD са равни на 50 градуса;
  • Ъгъл BCD е равен на 100 градуса;
  • Ъгъл BDA пък е равен на 45 градуса.

Намерете на колко градуса е равен ъгъл ABC.

 

C, PHP, VB, .NET

 9 квадратчета

   от C, PHP, VB, .NET


Следната задача може спокойно да се нарече основополагаща за един цял клас от задачи, които развиват логическото мислене при децата. Подобни често се дават на олимпиади.

Задача: Игрална площадка е разделена на 9 квадратчета, както е показано на фигурата. Във всяко от тях стои по едно дете. По подаден сигнал всяко едно от децата се премества в съседно квадратче. За съседно приемаме квадратче, което има обща страна с текущото. Докажете, че след преместването винаги ще има поне едно квадратче, в което ще се намират две или повече деца.

kvadratche

 

C, PHP, VB, .NET

В оригиналната задача на Бюфон за иглата равнината се разграфява с прави линии на равно разстояние 2a една от друга, след което се пита „каква е вероятността ако се хвърли игла (отсечка) с дължина 2l, където l

Задача за изпъкнал многоъгълник. “Разграфяваме” равнината с успоредни прави линии на разстояние “2a” една от друга. Каква е вероятността произволно хвърлен изпъкнал многоъгълник, чието най-голямо разстояние между два върха e 2l (l

 

C, PHP, VB, .NET

Да припомним задачата: Дадена е окръжност с радиус R. Изберете две произволни точки лежащи върху окръжността. Какво е очакваното разстояние (по права линия) между точките?

В предишната статия показах метод, чрез който се получаваше решение [mathi]D =\frac{4R}{3}[/mathi]. Сега ще покажа друг метод, чрез който се получава друг, леко различен отговор.

Правата през първата точка и центъра на окръжността разделят окръжността на две огледални части. Втората произволна точка ще попадне или в едната или в другата част.

1

Нека предположим, че втората точка е попаднала в лявата част. Правата, която минава през центъра на окръжността и е перпендикулярна на правата, която вече построихме, ще пресече окръжността точно в центъра на лявата дъга:

 

C, PHP, VB, .NET

Вземете една окръжност и изберете N на брой точки върху нея така, че разстоянието между две съседни точки да е винаги едно и също. Изберете три произволни точки. Каква е вероятността да формирате правоъгълен триъгълник с тях?

При N=8 чертежът е следния:

circle

Ясно е, че за да бъде правоъгълен триъгълника, две от точките трябва да лежат на диагонал на окръжността (центъра на описаната около правоъгълен триъгълник окръжност лежи върху неговата хипотенуза). Нека подходим по индукция.

При N=3 имаме три точки и можем да изберем само тях. Те обаче образуват равностранен, а не правоъгълен триъгълник. Следователно вероятността е 0.

 

C, PHP, VB, .NET

Задача. Дадено е квадратно уравнение [mathi]ax^2+bx+c=0[/mathi], където [mathi]a,b,c\in [-n,n][/mathi] са произволни реални числа. Каква е вероятността корените на квадратното уравнение да са реални числа?

Решение: Нека разгледаме два случая спрямо стойностите на „a“:

I случай) а>0

Можем да разделим двете страни на равенството на „a“, понеже то е различно от 0. Ще получим квадратното уравнение [mathi]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{a}{c}=0[/mathi].

Полагаме [mathi]p=\frac{b}{a}[/mathi] и [mathi]q=\frac{c}{a}[/mathi]. Понеже [mathi]b,c\in [-n,n][/mathi], то от това полагане следва, че [mathi]p,q\in [-\frac{n}{a},\frac{n}{a}][/mathi].

 

C, PHP, VB, .NET

Задача. Дадено е биквадратното уравнение x4 + bx2 + c = 0. Каква е вероятността четирите му корена да са реални числа, ако b и c са в интервала [-n,n]?

Решение: Полагаме x2 = y. Получаваме квадратно уравнение y2 + by + c = 0.

Ако корените на това квадратно уравнение са комплексни числа, то и корените на биквадратното уравнение ще са комплексни. Така, че първото условие, което искаме да бъде изпълнено е корените на квадратното уравнение да са реални числа, т.е. D=b2-4c>0

Това обаче не е достатъчно. Ако някой корен измежду y1 или y2 е отрицателен, то съответните им корени на биквадратното уравнение x11, x12 или x21, x22 ще станат комплексни числа.

Така получаваме още две условия – y1>0 и y2>0

 

C, PHP, VB, .NET

Задача 1. Дадено е квадратното уравнение x2 + bx + c = 0. Каква е вероятността корените му да са реални числа, ако b и c са в интервала [0,1]?

Решение: Корените ще бъдат реални числа тогава, когато дискриминантата на уравнението е положително число. Тя е D=b2-4c.

=> Търсим кога c < b2/4

Ако съставим ортонормирана координатна система в която по остта x нанасяме възможните числа b, а по остта y числата c, то те бидейки в интервала [0,1] определят област на един квадрат. Ако нанесем графиката на функцията y=x2/4, то тя ще отсече следната част от квадрата:

ФункцияИнтересуваме се от отношението на площта под функцията и цялата площ на квадрата. Тоест имаме:

 


Дядо казва че внукът му е на толкова дни на колкото седмици е синът му и на толкова дни на колкото месеца е той самия. Ако сборът от годините на тримата е 140, на колко години е всеки един от тях?