Skip to content

Category: mathematicsSyndicate content

C, PHP, VB, .NET

Даден е кръг с радиус „r“. С него се пресича равностранен триъгълник, както е показано на следната фигура:

Намерете лицата на частите от сечението, които са означени съответно с „1″, „2″ и „3″.

 

C, PHP, VB, .NET

 Магарето Марко и поляната

   от C, PHP, VB, .NET


Задача 1. Равна поляна с прекрасна зелена трева е оградена във формата на идеален кръг с радиус „r“. Магарето Марко е завързано със синджир за един от коловете на оградата. Колко трябва да бъде дълъг синджира така, че Марко да може да опасе точно половината от тревата на поляната?

Задача 2. Условието е същото както н задача 1, но поляната е оградена във формата на квадрат със страна „a“, а синджира е завързан за един от ъглите на квадрата;

Задача 3. Условието е същото както на задача 2, но марко е завързан по средата на страната на квадрата;

Задача 4. Решете задача 2 като приемете, че оградата е правоъгълник със страни „a“ и „b“.

Задача 5. Решете задача 3, като приемете, че оградата е правоъгълник със страни „а“ и „b“, а синджира е завързан за средата на едната от страните с дължина „a“.

 

C, PHP, VB, .NET

Влаково депо има линия с възможност за кръгово движение, както е показано на картинката по-долу. Това депо се използва за обучение на машинисти. Проблемът, който задават на кандидат-машинистите е да се премести вагон A на мястото на вагон B, както и вагон B на мястото на вагон А, като нито един от вагоните НЕ трябва да преминава през тунела. Освен това локомотивът трябва да бъде върнат на оригиналната си позиция. Опитайте се – ставате ли за машинисти?

 

C, PHP, VB, .NET

 По голямата от две суми

   от C, PHP, VB, .NET


Задача 1. Иван си намисля две произволни цели числа от 1 до 5, а Петър си намисля две произволни цели числа от 1 до 10. Каква е вероятността сумата от числата на Петър да е строго по-голяма от сумата от числата на Иван?

Задача 2. Иван си намисля две произволни цели числа от 1 до m, а Петър си намисля две произволни цяли числа от 1 до n, като n≥m. Каква е вероятността сумата от числата на Петър да е строго по-голяма от сумата от числата на Иван?

Задача 3. Иван си намисля две произволни цели числа от 1 до m, а Петър си намисля две произволни цяли числа от 1 до n, като n≥m. Каква е вероятността сумата от числата на Петър да е строго по-голяма от сумата от числата на Иван и едновременно с това сумата от числата на Петър да е по-малка от p?

 

C, PHP, VB, .NET

В задачите в статията „по-голямото от две произволни числа„, както и в статията „двойни условия„, използвахме събития с еднаква вероятност. Тоест вероятността да бъде избрано конкретно произволно число и от двамата участници беше една и съща. Сега ще демонстрирам същите задача, но този път вероятностите за избор ще бъдат различни.

Задача 1. Иван си намисля произволно цяло число от 1 до 10, а Петър си намисля произволно цяло число от 1 до 11. Каква е вероятността числото на Петър да е строго по-голямо от числото на Иван?

 

C, PHP, VB, .NET

Задача 1. На шахматната дъска Иван избира произволен квадрат 2×2 и едновременно с това променя цвета на четирите му полета (от бял в черен и обратно). Възможно ли е след няколко такива операции на дъската да остане само едно черно поле, а останалите да са бели?

Задача 2. На остров Камелот живеят 13 сиви, 15 кафяви и 17 розови хамелеона. Ако се срещнат два разноцветни хамелеона, те едновременно променят цвета си в третия цвят. Възможно ли е в някакъв момент всички хамелеони на острова да са едноцветни?

П.С. Тази задача е давана на международната математическа олимпиада „Турнир на Градовете“ през есента на 1984г.

 

C, PHP, VB, .NET

Задача. Имаме фиксирана координатна система Oxy в равнината. Каква е вероятността центъра на координатната система да попадне вътре в произволен триъгълник?

Решение: Около всеки триъгълник може да се опише окръжност. Нека разгледаме описаната около произволния триъгълник окръжност. От предишната задача знаем, че вероятността произволен кръг да съдържа в себе си центъра на координатната система е 1/2.

 

C, PHP, VB, .NET

Задача. Имаме фиксирана координатна система Oxy в равнината. Каква е вероятността кръг с произволен център и произволен радиус да съдържа центъра на координатната система?

Решение: Нека първо разгледаме положението на центъра на координатната система и центъра на кръга. Радиус векторът е r:

Ако ние ротираме координатната система вероятността няма да се промени. Затова за удобство ще завъртим Oxy така, че остта „x“ да съвпадне по посока с радиус-вектора r:

 

C, PHP, VB, .NET

Задача: Дадена е окръжност „k“ с радиус R=1. Върху тази окръжност са избрани три произволни точки, които взимаме за върхове на триъгълник. Каква е вероятността произволна точка от кръга „k“ да попадне вътре в триъгълника?

Решение: Лицето на кръга е известно – π. Нужно е да се намери лицето на произволния триъгълник. Най-удобно в случая е да параметризираме триъгълника чрез неговите ъгли по следният начин:

Действително – знаейки ъглите α и β и радиуса на описаната окръжност, ние можем еднозначно да определим лицето на триъгълника по формулата (извежда се чрез синусова теорема):

S(α,β,R) = 2R2.sin(α).sin(β).sin(α+β)

 

C, PHP, VB, .NET

 Вериги на Марков

   от C, PHP, VB, .NET


Задача 1. Транспортна фирма е обхванала София по посока изток-запад в следните груби региони: Младост (M), Център (C) и Люлин (L). От поръчките, които фирмата получава в M 50% от доставките са за M, 20% са за C и 30% са за L. От поръчките в C 10% са за M, 40% са за C и 50% са за L. От поръчките получени в L 30% отиват в M, 30% в C и 40% са за L.

а) При началните условия намерете вероятността произволен шофьор тръгнал от M да се намира в L след една доставка.

б) Каква е вероятността произволен шофьор тръгнал от L да се намира в C след две доставки?

в) Каква е вероятността шофьор от M да се окаже обратно в M след две доставки?

Упътване за решение: Нека първо да начертаем графика на отношенията между регионите: